맥스웰 방정식의 4개의 연립 미분 방정식을 통해 전자기파를 예언 하였던 유도 과정을 알아 보자.
멕스웰 방정식 전기장에 대한 가우스법칙(전기장 발산)
∇ ⋅ E = ρ ε 0 (1)
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \tag{1}
∇ ⋅ E = ε 0 ρ ( 1 )
자기장에 대한 가우스 법칙(자기장 발산)
∇ ⋅ B = 0 (2)
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B} = 0 \tag{2}
∇ ⋅ B = 0 ( 2 )
페러데이 전자 유도(전기장의 회전)
∇ × E = − ∂ B ∂ t (3)
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \tag{3}
∇ × E = − ∂ t ∂ B ( 3 )
앙페르-맥스웰법칙(자기장의 회전)
∇ × B = μ 0 J + ε 0 μ 0 ∂ E ∂ t (4)
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \tag{4}
∇ × B = μ 0 J + ε 0 μ 0 ∂ t ∂ E ( 4 )
전자기파 유도 자유 공간에서 전하 밀도 ρ \rho ρ J \mathbf{J} J 0 0 0 ( 1 ) (1) ( 1 ) ( 4 ) (4) ( 4 )
∇ ⋅ E = 0 (1)
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = 0 \tag{1}
∇ ⋅ E = 0 ( 1 )
∇ × B = ε 0 μ 0 ∂ E ∂ t (4)
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B} = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \tag{4}
∇ × B = ε 0 μ 0 ∂ t ∂ E ( 4 )
(4) 식의 우항에 있는 E \mathbf{E} E
∇ × ( ∇ × B ) = ∇ × ( ε 0 μ 0 ∂ E ∂ t )
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B}) = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t})
∇ × ( ∇ × B ) = ∇ × ( ε 0 μ 0 ∂ t ∂ E )
좌항은 백터 3중곱의 연산에 의해
∇ × ( ∇ × B ) = ∇ ( ∇ ⋅ B ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) B
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{B}) = \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) - (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B}
∇ × ( ∇ × B ) = ∇ ( ∇ ⋅ B ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) B ∇ ⋅ B = 0 \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 ∇ ⋅ B = 0
∇ ( ∇ ⋅ B ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) B = − ∇ 2 B
\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B}) - (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B}
= -\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{B}
∇ ( ∇ ⋅ B ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) B = − ∇ 2 B
우항은 우항의 ∇ × E \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\mathbf{E} ∇ × E − ∂ B ∂ t -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} − ∂ t ∂ B
ε 0 μ 0 ∂ ∂ t ( ∇ × E ) = ε 0 μ 0 ∂ ∂ t ( − ∂ B ∂ t ) = − ε 0 μ 0 ∂ 2 B ∂ t 2
\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\mathbf{E}) =
\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}) = - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}
ε 0 μ 0 ∂ t ∂ ( ∇ × E ) = ε 0 μ 0 ∂ t ∂ ( − ∂ t ∂ B ) = − ε 0 μ 0 ∂ t 2 ∂ 2 B
좌변과 우변을 정리하면 다음과 같이 정리 되고
− ∇ 2 B = − ε 0 μ 0 ∂ 2 B ∂ t 2
-\boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{B} = - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}
− ∇ 2 B = − ε 0 μ 0 ∂ t 2 ∂ 2 B − - −
∇ 2 B = ε 0 μ 0 ∂ 2 B ∂ t 2 (5)
\boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{B} = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2} \tag{5}
∇ 2 B = ε 0 μ 0 ∂ t 2 ∂ 2 B ( 5 )
(3) 식의 우항에 있는 B \mathbf{B} B
∇ × ( ∇ × E ) = ∇ × ( − ∂ B ∂ t )
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} \mathbf{E}) = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t})
∇ × ( ∇ × E ) = ∇ × ( − ∂ t ∂ B )
앞서 (4) 번 식과 같은 방법으로 정리하면 좌항은 다음과 같이 정리된다.
∇ 2 E
\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{E}
∇ 2 E
우항은 다음과 같이 정리 된다.
∇ × ( − ∂ B ∂ t ) = ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − ∂ ∂ t ( ε 0 μ 0 ∂ E ∂ t ) = − ε 0 μ 0 ∂ 2 E ∂ t 2
\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times} (-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}) =
\frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\times}\mathbf{B}) =
-\frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}) = - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}
∇ × ( − ∂ t ∂ B ) = ∂ t ∂ ( ∇ × B ) = − ∂ t ∂ ( ε 0 μ 0 ∂ t ∂ E ) = − ε 0 μ 0 ∂ t 2 ∂ 2 E
우항과 좌항을 같이 정리 하면
− ∇ 2 E = − ε 0 μ 0 ∂ 2 E ∂ t 2
-\boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{E} = - \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}
− ∇ 2 E = − ε 0 μ 0 ∂ t 2 ∂ 2 E − - −
∇ 2 E = ε 0 μ 0 ∂ 2 E ∂ t 2 (6)
\boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{E} = \varepsilon_0\mu_0 \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} \tag{6}
∇ 2 E = ε 0 μ 0 ∂ t 2 ∂ 2 E ( 6 )
식 (5) 와 식(6)은 아래와 같은 식 (7)의 파동방정식을 만족한다.
∇ 2 ψ = 1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 (7)
\boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{\mathbf{\psi}} = \frac{1}{v_2}\frac{\partial^2\mathbf{\mathbf{\psi}}}{\partial t^2} \tag{7}
∇ 2 ψ = v 2 1 ∂ t 2 ∂ 2 ψ ( 7 )
파동방정식을 만족하는 대상은 파동으로 존재 함으로 전기장과 자기장은 파동으로 존재 한다고 할 수 있으며 식(3) 과 식 (4)의 해 시변 자기장에 의해 전기장이 형성되고 이렇게 형성된 시변 전기장에 의해 또다시 시변 자기장이 형성되고 무한이 반복되어 파동의 형태로 퍼저 나가는 것을 알 수 있다.
이때 식 (7) 우항의 v v v v v v
1 v 2 = ε 0 μ 0
\frac{1}{v^2} = \varepsilon_0\mu_0
v 2 1 = ε 0 μ 0
양변에 역수를 취하면
v 2 = 1 ε 0 μ 0
v^2 = \frac{1}{\varepsilon_0\mu_0}
v 2 = ε 0 μ 0 1
양변에 제곱근을 취하면 다음과 같이 풀 수 있다.
v = 1 ε 0 μ 0 = 2.99 × 1 0 8 m / s
v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.99 \times 10^8 \ \mathrm{m}/\mathrm{s}
v = ε 0 μ 0 1 = 2.99 × 1 0 8 m / s
이를 통해 전자기파의 속도가 빛의 속도와 같음을 알 수 있다. 이를 통해 빛 이 전자기파의 일종임을 유추 할 수 있다.
