3 전류계법 - 단상 전력을 측정하는 방법

개요

이전 글인 3전압계법을 다룬 글에서 이미 설명 했듯이 교류(AC) 회로에서 부하전압과 부하전류간 위상차가 존재하기 때문에 전원측에서 공급하는 전력과 실제 부하에서 소비되는 전력과 크기가 다르다. 교류 회로에서는 전원측에서 공급되는 전력을 피상전력($P_a$)이라고 하고 실제 부하에서 소비되는 전력을 유효전력($P$)이라고 한다. 피상전력으로부터 유효전력을 계산하기위해 역률($\cos{\theta}$)을 곱해주어야 한다. 자세한 내용은 3전압계법 의 개요를 참고하자.

본문에서는 전류계 3개를 이용하여 유효전력을 측정하는 방법을 알아본다.

들어가기 앞서

3전류계법을 시작하기 앞서 결론을 먼저 설명 하자면 역률을 유도하는 과정이 전압 $V$를 전류 $I$ 로 치환하면 될 정도로 3 전압계법과 거의 같다.

3전전류계법

아래와 같은 교류회로가 있다고 가정하자. 전원($V_{in}$) 과 부하($Z_L$) 사이에 하나의 병렬 저항과 3개의 전류계가 있다. $I_1$은 전원측에서 측정한 전류, $I_2$는 부하와 병렬로 연결된 저항 $R$에 흐로는 전류, $I_3$는 부하에 흐르는 전류를 측정한다.

공급전류

전원측에서 공급되는 전류($I_1$)을 측정해보자. 다음 그림과 같이 저항기 앞단에 전원과 직렬로 연결하고 전류계의 지시값을 읽으면 전원 측에서 공급되는 진류를 알 수 있다.

부하전류 ($V$)

부하에 흐르는 전류는 저항 다음단에서 부하와 직렬로 전류계를 연결하고 전류계의 지시값을 읽으면 된다.

저항에 흐르는 전류($V$)

부하에 흐르는 전류를 측정해보자. 저항에 흐르는 전류를 구하기 측정하기 위해서는 부하와 병렬로 연결된 저항 $R$과 직렬로 전류계를 연결하고 전류계의 지시값을 읽으면 된다. 병렬회로에서는 전압이 같으므로 저항 $R$에 인가되는 전압을 계산하면 부하에 인가되는 전압을 유도할 수 있다. 저항에 인가되는 전압은 다음 식을 통해

$$ V = I \times R $$

$I$ 와 $R$의 곱임을 알 수 있다.

저항은 부하와 병렬로 연결되어 있고 병렬 회로에서는 전압이 일정 하기 때문에 저항에 인가되는 전압과 부하에 인가되는 전압은 그 크기와 위상이 같다.

역률 ($\cos{\theta}$)

부하에 인가되 전압($V = I \times R $) 와 부하에 흐르는 전류 ($I_3$)를 알았으니 역률 $\cos{\theta}$를 알면 부하에서 소비되는 전력 $P$를 구할 수 있다. 앞서 측정한 공급전류($I_1$), 저항에서의 흐르는 전류($I_2$), 부하에 흐르는 전류($I_3$)을 가지고 역률을 유도해 보자.

아래와 같은 조건을 기억하면서 페이저도를 그려보자.

• 부하 $Z_L$를 지상 부하라고 가정한다.
• 부하에 흐르는 전류 $\hat{I_3}$ 는 저항에 흐르는 전류 $\hat{I_2}$ 보다 지상이다. $\hat{I_2}$와 $\hat{I_3}$위상차를 $\phi$ 라고 하자.
• 키르히호프의 전류 법칙(KCL)에 의해 회로내 임이의 지점에서 들어오는 전류의 합과 나가는 전류의 합은 같으므로 $\hat{I_1}$ 를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \hat{I_1} = \hat{I_2} + \hat{I_3} $$

• 저항 $R$은 순저항 부하이기 때문에 $R$에 흐르는 전류 $\hat{I_2}$는 저항 $R$에 인가되는 전압과 위상이 같다.
• 부하 $Z_L$은 저항 $R$과 병렬로 연결되어 있으므로 부하 $Z_L$에 인가되는 전압은 저항 $R$에 인가되는 전압과 크기 및 위상이 같다.
• 따라서 부하 $Z_L$에 인가되는 전압($\hat{V}$)은 전류 $\hat{I_2}$와 위상이 같다.

$I_2$를 기준으로 페이저도를 그리면 다음과 같은 페이저도를 얻을 수 있다.

페이저도를 통해 $\hat{I_2}$와 $\hat{V}$ 사이의 역률각 $\theta$는 다음과 $180 - \phi$ 임을 알 수 있다.

$$ \theta = 180 - \phi $$

우리가 알고 있는 정보로는 $\theta$ 를 직접 구할 수 없지만 $\phi$를 통해 역률각 $\theta$를 유도할 수 있다.

$\phi$ 가 속해 있는 삼각형의 세 변의 길이를 알고 있으므로 코사인 법칙을 이용하여 $\phi$ 를 구한다.

코사인 법칙을 통해 삼각형에서 두 변의 길이와 그 사잇각으로 부터 제 3변의 길이 구하거나 삼각형 세변의 길이를 알고 있을 경우 세 각을 크기를 알 수 있다.

$$ I_1^2 = I_2^2 + I_3^2 - 2I_2I_3\cos{\phi} $$

$\cos{\phi}$ 에 대하여 식을 정리하면 다음과 같다.

$$ \cos{\phi} = -\frac{I_1^2-I_2^2 - I_3^2 }{2I_2I_3} $$

코사인의 특성을 이용하면 $\cos{(180 - \phi)}= -\cos{\phi}$ 이고 $\theta = 180 - \phi$ 이므로 $\cos{(180 - \phi)}$ 를 $\cos{\theta}$ 로 치환한 뒤 $\cos{\phi}$에 대하여 정리하면 $\cos{\phi} = -\cos{\theta}$ 가 된다.

앞에서 구한 $\cos{\phi}$ 를 $-\cos{\theta}$로 치환한 뒤 $\cos{\theta}$에 대하여 정리 하면 역률을 $\cos{\theta}$ 를 다음과 같음을 알 수 있다.

$$ \cos{\theta} = \frac{I_1^2-I_2^2 - I_3^2 }{2I_2I_3} $$

유효전력

앞에서 우리는 유효전력을 구하기 위한 필요한 3가지 값을 측정 또는 계산 하였다.

• 부하에 인가되는 전압

$$ V_{L} = R \times I_2 $$

• 부하에 흐르는 전류

$$ I_L = I_3 $$

• 역률 $$ \cos{\theta} = \frac{I_1^2-I_2^2 - I_3^2 }{2I_2I_3} $$

이제 위의 세 값을 모두 곱한 곱하면 유효전력을 구할 수 있다.

$$ P = R \times I_2 \times I_3 \times \frac{I_1^2-I_2^2 - I_3^2 }{2I_2I_3} $$

약분하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 이다.

$$ P = \frac{R}{2} \times (I_1^2-I_2^2 - I_3^2) $$

결론

전류계 3개를 용하여 부하에서 소비되는 전력을 구하는 공식은 다음과 같다.

$$ P = \frac{R}{2} \times (I_1^2-I_2^2 - I_3^2) $$