2 전력계법 - 3상 전력을 측정하는 방법

2 전력계법 - 3상 전력을 측정하는 방법
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2 전력계법

이전 글에서 단상부하의 경우 유효전력을 측정하기 위한 3 전압계법3 전류계법에 대하여 알아보았다. 이번에는 평형 삼상회로 부하에서 2개의 유효전력계를 이용하여 3상 유효 전력을 측정하는 방법에 대해 알아본다.

유효전력계는 전압계, 전류계, 역률계로 구성되어 있으므로 전압계, 전류계, 역률계가 각각 2개씩 있으면 유효전력을 측정할 수 있다.

세상의 전압과 전류의 크기가 같고 그 위상이 서로 120120^\circ 차이날 때 평형삼상 이라고 한다. 평형 삼상회로에서 3상의 전압과 전류의 합은 00이다.

유효전력

3상에서 유효전력을 구하기 위해서는 선간전압과 선전류의 곱에3\sqrt{3}배를 해주고 역률을 곱해 주어야 한다.

P=3VIcosθ P = \sqrt{3}VI\cos{\theta}

3상 부하의 전력은 각 상에서 소비하는 전력의 합이다. 한상의 소비전력은 EIcosθEI\cos{\theta} 이므로 3상 부하의 소비전력은 3EIcosθ3EI\cos{\theta}가 된다. YY 결선일 경우 선간전압이 상전압의 3\sqrt{3}배이고 Δ\Delta 결선일 경우 선전류가 상전류의 3\sqrt{3}배이기 때문에 소비 전력을 선간전압과 선간 전류로 나타내면 3VIcosθ\sqrt{3}VI\cos{\theta} 가 된다.

결선도

3상의 각 상을 AA, BB, CC라고 하자.

Two Wattmeter Method Circuit Diagram

W1W_1 은 전압 VabV_{ab}, 전류 IaI_a와 이 둘 사이의 위상차 cosϕ1\cos{\phi_1}를 측정한다.

W1=Vab×Ia×cosϕ1 W_1= V_{ab} \times I_a \times \cos{\phi_1}

W2W_2 은 전압 VcbV_{cb}, 전류 IcI_c와 이 둘 사이의 위상차 cosϕ2\cos{\phi_2}를 측정한다.

W2=Vcb×Ic×cosϕ2 W_2= V_{cb} \times I_c \times \cos{\phi_2}

삼상 평형이므로 삼상의 선간전압과 선전류는 그 크기가 같고 각 상의 위상이 120120^\circ차 이기 때문에 그 크기만을 나타내는 VabV_{ab}VcbV_{cb}VVI1I_1I2I_2II로 바꾸더라고 등식이 성립한다.

V=Vab=Vcb V = V_{ab} = V_{cb}

I=Ia=Ic I = I_a = I_c

3상 평형일 경우 위와 같은 등식이 성립함으로 W1W_1W2W_2를 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

W1=V×I×cosϕ1 W_1= V \times I \times \cos{\phi_1}

W2=V×I×cosϕ2 W_2= V \times I \times \cos{\phi_2}

페이저도

앞서 알아본 바와 같이 W1W_1W2W_2이 측정하는 값은 다음과 같다.

  • W1W_1 은 전압 VabV_{ab}, 전류 IaI_a와 이 둘 사이의 위상차 cosϕ1\cos{\phi_1}를 측정한다.
  • W2W_2 은 전압 VcbV_{cb}, 전류 IcI_c와 이 둘 사이의 위상차 cosϕ2\cos{\phi_2}를 측정한다.

측정값을 페이저도로 나타내면 다음과 같다.

Two Wattmeter Method Phase Diagram

페이저 도에서 보면,

ϕ1\phi_1VabV_{ab}IaI_a 사이의 위상차이고 VaV_aVabV_{ab} 사이의 위상차에 VaV_aIaI_a 사이의 위상차의 더한 값이다.

ϕ2\phi_2VcbV_{cb}IcI_c 사이의 위상차이고 VcV_cVcbV_{cb} 사이의 위상차에서 VcV_cIcI_c 사이의 위상차를 뺀 값이다.

YY 결선의 경우 상전압과 선간 전압은 3030^\circ의 위상차가 있으므로 다음과 같이 나태낼 수 있다.

ϕ1=30+θ \phi_1 = 30 + \theta

ϕ2=30θ \phi_2 = 30 - \theta

W1W_1W2W_2ϕ1\phi_1ϕ2\phi_2를 앞에서 구한 값으로 치환 하면 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

W1=V×I×cosϕ1=V×I×cos(30+θ) W_1= V \times I \times \cos{\phi_1} = V \times I \times \cos{(30 + \theta)}

W2=V×I×cosϕ2=V×I×cos(30θ) W_2= V \times I \times \cos{\phi_2} = V \times I \times \cos{(30 - \theta)}

위 식은 삼각함수 덧셈정리를 이용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

삼각함수 덧셈정리 cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ\cos{(\alpha \pm \beta)} = \cos{\alpha} \cos{\beta} \mp \sin{\alpha} \sin{\beta}

W1=V×I×(cos30cosθsin30sinθ)=VIcos30cosθVIsin30sinθ W_1= V \times I \times (\cos{30}\cos{\theta} - \sin{30}\sin{\theta}) = VI\cos{30}\cos{\theta} - VI\sin{30}\sin{\theta}

W2=V×I×(cos30cosθ+sin30sinθ)=VIcos30cosθ+VIsin30sinθ W_2= V \times I \times (\cos{30}\cos{\theta} + \sin{30}\sin{\theta}) = VI\cos{30}\cos{\theta} + VI\sin{30}\sin{\theta}

우효전력, 무효전력, 피상전력 그리도 역률

W1W_1W2W_2를 더해보자. W1+W2=2VIcos30cosθ=2VI32cosθ=3VIcosθ W_1 + W_2 = 2VI\cos{30}\cos{\theta} = 2 VI \frac{\sqrt{3}}{2}\cos{\theta} = \sqrt{3}VI\cos{\theta}

따라서 유효전력 PP는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

P=W1+W2 P = W_1 + W_2

이번에는 W1W_1에서 W2W_2를 빼보자

W1W2=2VIsin30sinθ=2VI12cosθ=VIcosθ W_1 - W_2 = 2VI\sin{30}\sin{\theta} = 2 VI \frac{1}{2}\cos{\theta} = VI\cos{\theta}

위의 최종 값에 3\sqrt{3} 만 곱해주면 무효전력 PrP_r을 유도할 수 있다.

Pr=3(W1W2) P_r = \sqrt{3}(W_1 - W_2)

이제 우리는 유도한 유효전력과 무효전력을 통해 피상전력 PaP_a와 역률 cosθ\cos{\theta}를 유도할 수 있다.

Pa=P2+Pr2=2W12+W22W1W2 P_a = \sqrt{P^2 + P_r^2} = 2\sqrt{W_1^2 + W_2^2 - W_1W_2}

cosθ=PPa=W1+W22W12+W22W1W2 \cos{\theta} = \frac{P}{P_a} = \frac{W_1 + W_2}{2\sqrt{W_1^2 + W_2^2 - W_1W_2}}

결론

2 전력계법을 통해 우리는 유효젼럭과 무효전력을 유도할 수 있고 이를 통해 피상전력과 역률을 유도할 수 있다는 것을 알았다.

P=W1+W2 P = W_1 + W_2

Pr=3(W1W2) P_r = \sqrt{3}(W_1 - W_2)

Pa=2W12+W22W1W2 P_a = 2\sqrt{W_1^2 + W_2^2 - W_1W_2}

cosθ=W1+W22W12+W22W1W2 \cos{\theta} = \frac{W_1 + W_2}{2\sqrt{W_1^2 + W_2^2 - W_1W_2}}